Schrödinger波动方程：衍生和解释|betway网页版电气4U. - betway网页版,betway必威体育精装版,必威亚洲体育

内容

什么是schrodinger方程

这薛定谔方程(也称为Schrödinger的波浪方程)是一个偏微分方程，它通过波函数描述量子力学系统的动力学。通过求解Schrödinger方程，可以得到系统的轨迹、位置和能量。

子原子粒子的所有信息在波函数内编码。波函数将满足并且可以通过使用Schrodinger方程来解决。Schrodinger方程是本科物理学中引入的基本公理之一。在大学的电气工程教学大纲中介绍，它也越来越常见，因为它适用于必威电竞赞助半导体．

不幸的是，它只在两种情况下被称为假设，并且从未以任何有意义的方式衍生。这是非常不满意的，因为本科普通物理学中的几乎所有其他东西都是在这个基础上建造的。在本文中，我们将从划痕中获得方程式，我将尽我所能来展示所采取的每一步。

有趣的是，我们将提出的论点和Schrödinger自己的观点是一样的，所以你可以看到一个巨人在他的时代是如何思考的。提醒一下，下面是三维空间(非相对论粒子)中与时间相关的Schrödinger方程:

量子物理与波

每个人都喜欢包装古典物理 - 但它很好地为我们提供了很长一段时间（想想牛顿力学，麦克斯韦方程和特殊的相对论）。

然而，如前所述的文章中所示，与当时已知物理相比，世纪之交的实验结果并不看得太闪光。我们的文章双重裂缝实验在某种程度上，光电效应是实验结果，与已知的时间理解并不相符。

但是为什么呢?简单地说，在经典物理学中存在两种实体，粒子和波浪。这些实体的两个功能可以描述如下：

颗粒：局部的能量和质量势头 $米$ ．

波:扰动随时间在太空旅行中传播。它们可以用波函数来描述 $\ psi（\ vec {r}，t）$ 这描述了空间和时间的波浪。

这将我们带来了我们的令人惊讶的结果光电发射篇文章。我们发现电子显示这两个这些属性。这与知名人的理解完全矛盾，随着两个实体被认为是互斥的。

疯了吗？关于这一次，物理学中的一些真正有影响力的人物开始意识到知识中存在差距，当路易斯德布利相关联的势头（对于粒子）给出的波长（用于波长）时，大幅突破

$\ begin {公式*} p = h / \ lambda。\结束{等式*}$

另外,从光电发射我们知道，光子的能量吸收和发射（仍然不确定粒子或波浪）是否具有：

$\ begin {arearation *} e = hf = \ hbar \ oomga \ neg {arequation *}$

在哪里 $\ hbar = h / 2 \ pi$ 和 $\ omega = 2 \ pi f$ ．我们现在正处于Schrödinger在推导出他的著名方程之前的完全相同的阶段。但我们从哪里开始呢?我们知道电子和光子表现出波状和粒子状的行为。从一个所有波都应该服从的通用方程开始，然后在上面引入粒子物理学，看看是否有结果，这不会有什么错。

如何推导波动方程

干扰 $\ psi（\ vec {r}，t）$ 遵守波动方程。请记住，电子显示波状行为并具有电磁电荷。因此，现在，让我们只看电磁场。在这种情况下，Maxwell的等式适用，在这里，他们在他们所有的荣耀中：

${对齐*}\微分算符\ \开始* vec {\ E } &= - \ 压裂{\部分{\ vec {B}}}{\部分{t}} \ \ \微分算符\ vec {B} & = - * \ \ mu_0 \离开vec {J} + (\ \ epsilon_0 \压裂{\部分{\ vec {E}}}{\部分{t}} \) \ \ \微分算符\ cdot vec {E} & = \ \压裂{\ρ}{\ epsilon_0} \ \ \微分算符\ cdot vec {B} & = 0 \ \{对齐*}结束$

在哪里 $C$ 是真空中的光速， $\ vec {e}$ 是电场和 $\ vec {b}$ 是磁场。上面的第一个方程是发电机、电感器、变压器的基础，是法拉第定律的体现。

还有，来自 $\ nabla \ cdot \ vec {b} = 0$ 就是没有磁单极子存在。理解这些方程的推导过程和它们背后的物理意义有助于成为一个全面发展的工程师。现在，让我们通过对方程4施加旋度来推导任何电磁波必须服从的方程:

${对齐*}\微分算符\ \开始* vec {\ E } &= - \ 压裂{\部分{\ vec {B}}}{\部分{t}} \ \ \意味着\微分算符(\ \倍vec{微分算符\ * \ E }) &= - \ 压裂{\部分{(vec {B} \ \微分算符\倍)}}{\部分{t}} \ \ \意味着\微分算符\ * (vec {E} \ \微分算符\倍)& = - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}}{对齐*}\结束$

现在我们可以利用一个非常熟悉(且很容易证明)的向量恒等式: $\ nabla \ times（\ nabla \ times t）= \ nabla（\ nabla \ cdot t） - \ nabla ^ 2t$ 在哪里 $T.$ 是某个占位符向量。现在应用到我们的小方程中

$\开始{对齐*}\微分算符(\微分算符\ cdot \ vec {E}) - \微分算符^ vec {E} & = - 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} \ \ \暗示——\微分算符^ vec {E} & = - 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} \ \ \微分算符vec {E} - ^ 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} & = 0结束\{对齐*}$

我们这里的结果是3维中的电磁波方程。该等式不仅表现为电磁波 - 但也表现出声学，地震波，声波，水波和流体动力学。

如何获得Schrödinger方程

波动方程的平面波解

从1维度的波浪方程开始（它真的很容易概括为3维度，因为逻辑适用于所有 $X，Y.$ 和 $Z.$ 维度。):

${方程*}\ \开始压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {x}} = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {t}} \ Longrightarrow \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {t}} = 0 \{方程*}结束$

实际上，这是二阶偏微分方程，并满足平面波解决方案：

$\ begin {等式*} e（x，t）= e_0 ^ {i（kx - \ omega t）} \ text {（为自己检查这个！）。} \结束{等式*}$

我们从普通波动力学中知道的 $k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}$ 和 $= 2 f$ ．现在，让我们利用爱因斯坦和康普顿所做的功，代入光子的能量是由 $\ mathsf {e} = \ hbar \ omega$ 从de-Broglie那里 $P = h / = hbar k$ ．我们可以将我们的飞机波解决方案提供进一步按摩：

$\{方程*}开始E (x, t) = E_0 E ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {E} t)} \{方程*}结束$

这是描述光子的平面波方程。让我们把这个方程代入波动方程，看看我们会发现什么!

$\ begin {align *} \ left（\ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {}}}}} {\ partial ^ 2 {t}} \右）e_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf {e} t）}＆= 0 \\ \暗示 - \ frac {{\ hbar ^ 2} \ left（p ^ 2 - \ frac {\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} \ rote）e_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px -\ mathsf {e} t）}＆= 0 \ end {align *}$

换句话说， $(1) (1) (2) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5$ 这是伟大的，因为我们从特殊的相对论中知道具有质量的相对论粒子的总能量 $m$ 是：

$\ begin {arearation *} \ mathsf {e} ^ 2 = p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \ end {等式*}$

到目前为止，我们只处理了没有质量的光子 $(m = 0)$ ！！因此，让我们来扩展我们的理解，并以质量（例如电子）为粒子应用总体相对论能量，并将我们的等式的名称改为 $\ψ$ 因为我们没有超大。

$\{方程*}-开始\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {E} ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2 c ^ 2 \) \ Psi E ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {E} t)} = 0结束\{方程*}$

这个方程是直接把一个光子的平面波方程代入波动方程。然而，由于我们现在想要能量来解一个有质量的粒子的总相对论能量，我们需要稍微改变波动方程。这是因为波动方程不应该完全适用于我们的新 $\ psi.$ 它描述粒子和波。我们现在可以反向求解一个运算符来得到上面的方程，它是这样给出的:

$\ begin {公式*} \ left（\ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {}}}} {\ partial ^ 2 {t}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \右）\ psi e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf{e} t）} = 0 \ end {等式*}$

求解波动方程中质量的颗粒

我们现在想要在我们刚才描述的完整能量上发出几个近似值 $\ mathsf {e}$ 对于具有动量和质量的粒子。让我们稍微重新排列公式，以便我们可以使用一些近似值。

$\ begin {aligne *} \ mathsf {e} ^ 2＆= p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c ^ 4 \\ \ mathsf {e}＆= \ sqrt {e}＆left（p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c^ 4 \右）} \\＆= \ sqrt {\ left（c ^ 4（\ frac {p ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2）\右）} \\＆= \ sqrt {\ left（c ^ 4 m ^ 2（\ frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1）\右）} \\＆= mc ^ 2 \ sqrt {\ left（\ frac {p ^ 2}{m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右）} \结束{align *}$

这个操作的重点是得到这个形式的方程 $\ sqrt {1 + x}$ 因为如果我们对这个方程进行泰勒级数展开，我们会得到

$\ begin {arearation *} \ sqrt {1 + x} \大约1 + \ frac {x} {2} - \ frac {x ^ 2} {8} + \ frac {x ^ 3} {16} + ..。\结束{公式*}$

当 $X$ 是小的，唯一的部分仍然存在于泰勒的扩张中是 $O（1）$ 学期。在我们的能量公式中， $x = \ frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} = \左（\ frac {p} {mc}右）^ 2$ ．我们可以利用这一事实 $p = mv \ ll mc$ 对于任何不以光速旅行的东西（如果您找到任何不满足的东西，请找我）！所以这个术语实际上减少了：

$\ begin {align *} \ mathsf {e}＆= mc ^ 2 \ sqrt {\ left（\ frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右）} \\＆\ atthem ^2 \左（1 + \ FRAC {1} {2} \ FRAC {P ^ 2} {M ^ 2 C ^ 2} \右）\\＆= mc ^ 2 + \ frac {p ^ 2} {2m}= MC ^ 2 + e _ {\ text {kinetic}} \ end {align *}$

在哪里

$文本\{方程*}E_开始\{动能}= \压裂{1}{2}mv ^ 2 = \压裂{1}{2}\压裂{(mv) ^ 2} {m} = \压裂{p ^ 2} {2 m} \{方程*}结束$

是我们从高中物理中看到的正常动能。现在回到之前的波函数，让我们输入这个新信息，看看我们会得到什么:

$\ begin {align *} \ psi（\ vec {r}，t）＆= \ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - \ mathsf {e} t）}}} \\＆\ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - mc ^ 2t - e_ {\ text {kinetic}} t）} \\＆= e ^ { - \ frac{i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - e_ {\ text {kinetic}} t）} \\ \ end {aligh*}$

我们现在分开这两项的原因是第一项 $e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t}$ （仅基于光速再次）将显着更加振荡到第二个术语的振荡，并且不一定描述我们之后的粒子波实体。所以要巩固这种差异，让我们现在确定：

$\ begin {等式*} \ psi（\ vec {r}，t）= e ^ { - - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi（\ vec {r}，t）\ neg {方程式*}$

我们已经定义了:

$\ begin {arearation *} \ psi（\ vec {r}，t）= \ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - e_ {\ text {kinetic}} t）}。\结束{等式*}$

现在让我们采取第一和第二部分衍生品 $vec {\ Psi (\ r}, t)$ 看看我们会得到什么。第一个:

${方程*}\ \开始压裂{\部分{\ Psi}}{\部分t} = - \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) + e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi (vec {r} \ t)}{\部分t} \{方程*}结束$

第二：

$\开始{方程*}\压裂{\部分^ 2 {\ Psi}}{\部分t ^ 2} = \离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi}{\部分t} \右)+ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分^ 2 \ Psi}{\部分t ^ 2} \{方程*}结束$

我们应该记住，第二个术语与第二部分衍生物相当小，因为没有 $c ^ 2$ 带有数量级的项，因此通过近似，实际的二阶导数是:

$\开始{对齐*}\压裂{\部分^ 2 {\ Psi}}{\部分t ^ 2} \大约\离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi}{\部分t} \) \{对齐*}结束$

我们拍摄这两个部分衍生品的偷偷摸摸的原因是为了使他们能够将它们赋予描述Wave功能的这种等式：

$左(\ \开始{方程*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} = 0结束\{方程*}$

但在此之前，让我们重新整理一下这个公式最后得到一个叫做克莱因-戈登方程的方程

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (x, t)}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi (x, t ) &= \ 压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (x,t)}}}{\部分^ 2 {t}} \{对齐*}结束$

现在，我们可以通过将此方程转换为向量方程来轻松地将其概括为3维度（我们采取的所有步骤导出此公式将适用于所有 $X，Y.$ 和 $Z.$ ．)

$\ begin {等式*} \ nabla ^ 2 \ psi（\ vec {r}，t） - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ psi（\ vec {r}，t）= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

该等式被称为自由粒子的Klein-Gordon方程。这种等式是相对主义的，因为它的能量术语不会让我们对这几乎没有假设 $\ sqrt {1 + x}$ 泰勒扩张。

现在，让我们简化Klein-Gordon方程（返回到1-D并应用我们的新能量配方），我们将达到最长期待的Schrödinger方程式：

${对齐*}\ \开始压裂{{\部分^ 2 {\ Psi}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi & = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi}}}{\部分^ 2 {t}} \{对齐*}结束$

我们代入新的波函数 $\ psi（\ vec {r}，t）= e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi（\ vec {r}，t）$ 我们知道第一个和第二阶段相对于时间的衍生品是什么样的：

$\开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = \压裂{1}{c ^ 2} \离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \右)+e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \ \ \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂我{2}{\百巴}我^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} + e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分^ 2 \ psi}{\部分t ^ 2} \ \ \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = - \压裂我{2}{\百巴}我^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \ \ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \离开(\压裂{{\部分^ 2 {\ psi}}}{\部分^ 2 {x}} + \压裂{2 im}{\百巴}\压裂{\部分\ psi}{\部分t} \右)& = 0结束\{对齐*}$

现在我们需要做的就是一个简单的重新排列，以便在三个方面获得Schrödinger方程（注意 $\压裂{1}{我}=我$ ）：

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) = \压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 \ Psi (vec {r} \ t)结束\{方程*}$

在该参数可以通过注意到古典汉密尔顿人的相似性，即该等式右侧的术语描述了波函数的总能量。

在推导过程中，我们假设 $v（\ vec {r}，t）$ 是0，只考虑了动能。我们知道电势对于其空间变化是纯粹的可加性，因此，完整的Schrödinger三维电势方程是:

$\ begin {公式*} i \ hbar \ frac {\ partial {}} {\ partial {t}} \ psi（\ vec {r}，t）= \ left [\ frac { - \ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + v（\ vec {r}，t）\右] \ psi（\ vec {r}，t）。\结束{等式*}$

就是这样!这篇文章导出了三维非相对论粒子的完整薛定谔方程。如果你喜欢这篇文章，并希望看到更多这样的文章，请给我们发邮件。

引用

Gasiorowicz,美国(2019年)。量子物理学．2版。加拿大:汉密尔顿印刷，第1-50页。
格里菲斯，D。（2019）。量子物理学．3 ed。剑桥大学印刷厂：剑桥大学出版社。
Ward, D.和Volkmer, S.(2019)。如何衍生施罗德格方程式．[网络]arXiv.org。可在https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1[访问2019年5月29日]。
Shankar r(1980)。量子力学原理．第1版。纽约:施普林格科学，第1-40页。

Schrödinger波动方程：衍生和解释