巴特沃斯滤镜:这是什么?（设计与应用）|betway网页版电气4U. - betway网页版,betway必威体育精装版,必威亚洲体育

内容

什么是巴特沃斯滤镜?

一种巴特沃斯滤波器是否有一种信号处理滤波器被设计成频率响应尽可能平坦通频带．因此，Butterworth滤波器也被称为“最大平坦幅度滤波器“。它在1930年由英国工程师和物理学家斯蒂芬贝特沃斯撰写的纸张上题为“关于滤波器放大器的理论“。

巴特沃斯滤波器的频率响应在通频带内是平坦的带通滤波器）在阻带中向零滚动。滚降响应速率取决于滤波器的顺序。在滤波器电路中使用的反应元件的数量将决定过滤器的顺序。

这电感器和电容器是滤波器中使用的反应式元件。但在巴特沃斯滤波器的情况下，只使用电容器。因此，电容器的数量决定了滤波器的顺序。

在这里，我们将讨论带有低通滤波器的巴特沃斯滤波器。类似地,高通滤波器可以通过改变职位来设计电阻和电容。

Butterworth低通滤波器设计

在设计过滤器时，设计者试图获得接近理想过滤器的响应。要使结果与精确的理想特性相匹配是非常困难的。我们需要使用复杂的高阶滤波器来实现接近理想特性的特性。

如果增加过滤器的顺序，则滤波器的级联阶段数也增加。但在实践中，我们无法实现Butterworth的理想频率响应。因为它在通带中产生过度的纹波。

在巴特沃斯滤波器中，数学上可以得到从0hz到截止的平坦频率响应频率在-3dB无纹波。如果频率大于截止频率，一阶滤波器将以- 20db / 10年的速率滚降至零。

如果增加过滤器的顺序，则滚动周期的速率也增加。并且对于二阶，它是-40 dB /十年。这质量因素巴特沃斯滤波器的值为0.707。

下图显示了滤波器各种订单的Butterworth滤波器的频率响应。

n阶巴特沃斯低通滤波器频率响应的广义形式为;

$\ [h（j \ omega）= \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ varepsilon ^ 2（\ frac {omega} {\ omega_c}）^ {2n}}} \]$

在哪里，
n =过滤器的顺序，
ω=电路的工作频率（通带频率）
ω_C=截止频率
ε =最大通带增益_马克斯

用下式求ε值。

$\ [h_1 = \ frac {h_0} {\ sqrt {1+ \ varepsilon ^ 2}} \]$

在哪里，
H₁最小通带增益
H_0.=最大通带增益

一阶低通巴特沃斯滤波器

低通滤波器是一种允许频率低于截止频率的信号，并使频率高于截止频率的信号衰减的滤波器。

在一阶滤波器中，无功组件的数量只是一个。下图显示了一流的低通巴特韦尔滤波器的电路图。

低通巴特沃斯滤波器是有效低通滤波器因为它包括op-amp.．这个运算放大器在非反相模式下工作。因此，滤波器的增益将由电阻器R.₁和R_F．截止频率由R和C决定。

现在，如果你应用分压器规则在点Va处找到电压在一个电容器。它被赋予为;

$V_a = frac{-jX_C}{R-jX_C} V_{in}$

$\ [v_a = \ frac {-j（\ frac {1} {2 \ pi f c}）} {r-j（\ frac {1} {2 \ pi f c}）} v_ {in} \]$

$V_a = frac{-j}{2\pi fRC -j} V_{in}$

$V_a = frac{V_{in}}{1- frac{2 \pi fRC}{j}}$

$V_a = fRC {V_{in}}{1+j2 \pi fRC}$

由于OP-AMP的非反相配置，

$V_0 = left(1+ frac{R_f}{R_1}) V_a$

$\ [v_0 = \ left（1+ \ frac {r_f} {r_1}右）\ frac {v_ {in}} {1 + j2 \ pi frc} \]$

$\压裂{V_0} {V_a} = \压裂{A_f} {1 + j \压裂{f} {f_c}}$

在哪里，

$\ [a_f = 1 + \ frac {r_f} {r_1} \]$

一种_F=通带滤波器增益

$\ [f_c = \ frac {1} {2 \ pi rc} \]$

F_C=截止频率
f =工作频率

$\压裂{V_0} {V_a} =左| \ \压裂{V_0} {V_a} \右| \ \角φ$

$左| \ \压裂{V_0} {V_a} \右| = \压裂{A_f}{\√6 {1 + j \离开(\压裂{f} {f_c} \右)^ 2}}$

$\ [\ phi = - \ tan ^ { - 1} \ left（\ frac {f} {f_c} \右）\]$

在非常低的频率下，f << f_C
$左| \ \压裂{V_0} {V_a} \右| \大约A_f(常数)$
在截止频率，f = f_C
$左| \ \压裂{V_0} {V_a} \右| = \压裂{A_f} {\ sqrt {2}} = 0.707 A_f$
在高频，f> f_C
$left|\frac{V_0}{V_a} \right| < A_f$

下图显示了一阶低通巴特韦尔滤波器的频率响应。

二阶巴特沃思滤波器

二阶Butterworth过滤器由两个反应组件组成。二阶低通过Butterworth滤波器的电路图如下图所示。

在这类滤波器中，电阻R和R_F是OP-AMP的负面反馈。滤波器的截止频率由r决定₂, R_3.C₂C_3.．

二阶低通巴特沃斯滤波器由两个背靠背相连的RC网络组成。和R_L.为负载电阻。

一阶和二阶巴特沃斯滤波器非常重要。因为我们可以通过级联一阶和二阶巴特沃斯滤波器得到高阶巴特沃斯滤波器。

分析二阶巴特沃斯滤波器的电路，

在V点应用基尔霍夫电流定律₁．

$\ [i_1 = i_2 + i_3]$

（1） $\ begin {arequation *} \ frac {v_ {in} -v_1} {r_2} = frac {v_1-v_0} {\ frac {1}} + \ frac {v_1-v_a} {r_3} \ need{方程*}$

在点V处使用电位分割器法则_一种

$左\ [V_a = V_1 \[\压裂{\压裂{1}{sC_3}} {R_3 + \压裂{1}{sC_3}} \右)\]$

$\ [v_a = v_1 \ left [\ frac {\ frac {1} {sc_3}} {\ frac {r_3 {sc_3} + {1}} {sc_3}}右] \]$

$\ [v_a = \ frac {v_1} {1 + sr_3c_3} \]$

$V_1 = V_a (1+sR_3C_3)$

代入V的值₁在方程(1)

$\ [\ frac {v_ {in} -v_a（1 + sr_3c_3）} {r_2} = \ frac {v_a（1 + sr_3c_3）-v_0} {\ frac {1} {sc_2}} + \ frac {v_a（1+ sr_3c_3）-v_a} {\ frac {1} {r_3}} \]$

$中\[\压裂{V_ {}} {R_2} - \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)} {R_2} = \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)}{\压裂{1}{sC_2}} - \压裂{V_0}{\压裂{1}{sC_2}} + \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)} {R_3} - \压裂{V_a} {R_3} \]$

$\ [\ frac {v_ {in}} {r_2} + \ frac {v_0} {\ frac {1}} = \ frac {v_a（1 + sr_3c_3）} {\ frac {1}} {sc_2}}+ \ frac {v_a（1 + sr_3c_3）} {r_2} + \ frac {v_a（1 + sr_3c_3）} {r_3} - \ frac {v_a} {r_3} \]$

$中\[\压裂{V_ {}} {R_2} + V_0 sC_2左= V_a \ [sC_2 (1 + sR_3C_3) + \压裂{(1 + sR_3C_3)} {R_2} + \压裂{(1 + sR_3C_3)} {R_3} - \压裂{1}{R_3} \右)\]$

$\ [\ frac {v_ {in} + v_0 sc_2 r_2} {r_2} = v_a \ left [\ frac {r_3 r_2 sc_2（1 + sr_3c_3）+ r_3（1 + sr_3c_3）+ r_2（1 + sr_3c_3） - r_2}{r_2r_3} \右] \]$

$\ [r_3（v_3（} + v_0 sc_2 r_2）= v_a \左[r_3 r_2 sc_2（1 + sr_3c_3）+ r_3（1 + sr_3c_3）+ r_2（1 + sr_3c_3） - r_2 \右] \]$

$\ [R_3 V_{在}+ V_0 sC_2 R_2 R_3左= V_a \ [(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)——R_2 \] \]$

$\ [v_a = \ frac {r_3 v_ {in} + v_0 sc_2 r_2 r_3} {（1 + sr_3c_3）\ left（r_3 r_2 sc_2 + r_3 + r_2 \右） - r_2} \]$

由于OP-AMP的非反相配置，

$\ [v_0 = a_f v_a \]$

在哪里，

$\ [A_f = 1 + \压裂{R_f} {R_1} =获得\ \,过滤\ \,通频带\]$

$\ [v_0 = a_f \ left [\ frac {r_3 v_2 r_2 r_3 v_2 r_2 r_3} {（1 + sr_3c_3）\ left（r_3 r_2 sc_2 + r_3 + r_2 \右） - r_2} \ rothing] \]$

$\ [V_0 - \压裂{A_f V_0 sC_2 R_2 R_3} {(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)- R_2} = \压裂{A_f R_3 V_在}{}{(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)- R_2}} \]$

$\ [v_0 \ left [（1 + sr_3c_3）（r_3 r_2 sc_2 + r_3 + r_2） - r_2 - a_f sc_2 r_2 r_3 \ rot] = a_f r_3 v_ {in} \]$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a_f r_3} {\ left [（1 + sr_3c_3）（r_3 r_2 sc_2 + r_3 + r_2） - r_2 - a_f sc_2 r_2 r_3 \右]} \]$

重新排列此等式，

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f R_3}{左\ [(1 + sR_3C_3) (R_2 + R_3 + sR_2R_3C_2) - R_2 sA_fR_2 R_3C_2 \右]}$

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f R_3}{左\ [(R_2 + R_3 + sR_2R_3C_2 + sR_2R_3C_3 + sR_3 ^ 2 C_3 + s ^ 2 r_2r_3 ^ 2 c_2c_3) - R_2 sA_fR_2 R_3C_2 \右]}$

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f R_3} {s ^ 2 r_2r_3 ^ 2 c_2c_3 + s (R_2R_3C_2 + R_2R_3C_3 + R_3 ^ 2 c_3 - A_fR_2 R_3C_2) + R_3}$

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f R_3} {R_2R_3 ^ 2左c_2c_3 \(^ 2 +年代\压裂{R_2R_3C_2 + R_2R_3C_3 + R_3 ^ 2 c_3 - A_fR_2 R_3C_2} {R_2R_3 ^ 2 c_2c_3} + \压裂{R_3} {R_2R_3 ^ 2 c_2c_3} \右)}$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {}} = \ frac {a_f} {r_2r_3c_2c_3 \ left（s ^ 2 + s \ frac {r_2c_2 + r_2c_3 + r_3c_3 - a_fr_2c_2} {r_2r_3c_2c_3} + \ frac {1} {r_2r_3c_2c_3} \右）} \]$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {\ frac {a_f} {r_2r_3c_2c_3}} {\ left（s ^ 2 + s \ frac {r_2c_2 + r_2c_3 + r_3c_3 - a_fr_2c_2} {r_2r_3c_2c_3} +\ frac {1} {r_2r_3c_2c_3} \右）} \]$

将该方程与二阶Butterworth滤波器的标准形式传递函数进行比较。那就是，

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{一}{s ^ 2 + 2 \ζ\ omega_c s + \ omega_c ^ 2}$

通过比较上述方程，我们可以得到二阶低通巴特沃斯滤波器的截止频率和总增益的方程。

滤波器的增益为，

$\ [a_ {max} = \ frac {a_f} {r_2r_3c_2c_3} \]$

滤波器的截止频率是，

$omega_c^2 = frac{1}{R_2R_3C_2C_3}$

$omega_c = frac{1}{\sqrt{R_2R_3C_2C_3}}$

$f_c = frac{1}{2\pi \sqrt{R_2R_3C_2C_3}}$

现在，如果考虑R的值₂和R一样_3.和c的值₂与C相同_3.．

$\ [r_2 = r_3 = r \ quad和\ quad c_2 = c_3 = c \]$

$f_c = \frac{1}{2\pi R C}$

现在如果我们把上面的值代入传递函数，

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{\压裂{A_f} {R ^ 2 c ^ 2}}{^ 2 +年代\压裂{RC + RC + RC-A_f RC} {R ^ 2 c ^ 2} + \压裂{1}{R ^ 2 c ^ 2}}$

${RC} \]$

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f \ω^ 2}{^ 2 +年代(3-A_f) \ \ω^ω+ 2}}$

从上方等式，质量因子Q等于，

$Q = \frac{1}{3-A_f}$

可以说，质量因子只取决于滤波器的增益。且所得值不应超过3。如果增益值大于3，系统将不稳定。

巴特沃斯滤波器的质量因子值为0.707。如果我们把这个值放到质量因子的方程中，我们就能得到收益的值。

$0.707 = \frac{1}{3-A_f}$

$\ [a_f = 1.586 \]$

$\ [1 + \ farc {r_f} {r_1} = 1.586 \]$

$farc{R_f}{R_1} = 0.586$

在设计二阶巴特沃斯滤波器时，必须满足上述关系。该滤波器的频率响应如下图所示。

三阶低通巴特沃斯滤波器

三阶低通巴特沃斯滤波器可以通过一阶和二阶巴特沃斯滤波器的级联来设计。

下图为三阶低通巴特沃斯滤波器的电路图。

图中，第一部分为一阶低通Butterworth滤波器，第二部分为二阶低通Butterworth滤波器。

但在这种情况下，第一部分的电压增益是可选的，可以设置在任何值。因此，第一个OP-AMP不参加电压增益。因此，对于第三阶低通滤波器的图也可以表示如下图;

二阶滤波器的电压增益影响频率响应的平坦度。如果二阶滤波器的增益保持在1.586，则增益将为每个部分的3DB降至3DB。因此，截止频率下总增益将下降6dB。

通过增加二阶滤波器的电压增益，我们可以抵消电压增益的累积损耗。

在三阶巴特沃斯滤波器中，滚转周期的速率为-60dB/ 10年。与一阶和二阶滤波器相比，该滤波器的频率响应更接近于理想的巴特沃思滤波器。该滤波器的频率响应如下图所示。

四阶低通巴特沃斯滤波器

第四阶Butterworth滤波器由两阶低通巴特沃思过滤器的级联连接建立。四阶低通巴特沃思滤波器的电路图如下图所示。

如果两个过滤器的增益设置为1.586，则截止频率下电压增益将下降6 dB。我们可以通过为两个阶段选择不同的电压增益值来获得更平坦的响应。根据先进的研究，如果我们使用第一阶段的电压增益1.152和第二阶段的电压增益1.152，我们获得最大响应。

下图显示了四阶低通巴特韦尔滤波器的频率响应。

巴特沃斯滤波和切比雪夫滤波的区别

Chebyshev滤镜比Butterworth滤波器更陡峭的滚动。但它由通带（类型-1）或停车（类型-2）中的纹波组成。Type-1 Chebyshev过滤器通常使用，有时它只称为“Chebyshev滤波器”。Type-2滤波器也称为“Reversebyshev Filter”。

Batterworth滤波器和Chebyshev滤波器之间的差异如下表所示。

	Butterworth Filter.	Chebyshev过滤器
过滤器的顺序	在相同的要求条件下，巴特沃斯滤波器的阶数要高于切比雪夫滤波器。	对于相同的要求，切比雪夫滤波器的阶数小于巴特沃斯滤波器。
硬件	它需要更多的硬件。	它需要更少的硬件。
涟漪	频率响应的通带和阻带无纹波。	通带或停机带上有波纹。
波兰人	所有极点都位于具有截止频率半径的圆上。	所有杆位于具有长轴R，ξ，次轴r的椭圆上。
过渡带	与切比雪夫滤波器相比，巴特沃斯滤波器具有更宽的过渡带。	与Butterworth滤波器相比，Chebyshev过滤器具有窄的过渡带。
类型	它没有任何类型。	它有两种类型;1型和2型。
截止频率	这个滤波器的截止频率不等于通频带频率。	这个滤波器的截止频率等于通频带频率。

Butterworth过滤器应用

巴特沃斯滤波器的应用如下:

由于通带中的最大平坦频率响应，它用作数据转换器应用中的抗混叠滤波器。
巴特沃斯滤波器用于音频处理应用。一种有效的音频降噪工具可以开发使用巴特沃斯滤波器。
它也用于各种沟通和控制系统．
它用于雷达设计雷达目标跟踪的显示。
它用于运动分析。